中学3年生の数学で学習する因数分解
中学3年生になると、1学期の中盤で因数分解というものを学習します。
ここでは、因数分解について、なるべくわかるように解説していきますので、参考にしていただければと思います。
因数とは
因数というのは、整数や文字式をかけ算で表した時、そのかけ算を構成している値や文字、式のことを指します。
少し難しいと思いますので、次の具体例を見てみましょう。
具体例
・24の因数
24をかけ算で表すと、「1×24、2×12、3×8、4×6」と表すことができます。
この「1、2、3、4、6、8、12、24」のことを、24の因数と言います。
整数の場合は、約数が因数となるということを覚えておきましょう。
・12bの因数
12bをかけ算で表すと、「1×12b、2×6b、3×4b、4×3b、6×2b、12×b」と表すことができます。
この「1、2、3、4、6、12、b、2b、3b、4b、6b、12b」のことを12bの因数と言います。
文字式の場合は、約数それぞれに文字をかけたものも因数となるということです。
因数の問われ方
上記の例のように、かけ算で表した時の値や文字のことを因数と言います。入試問題では因数が問われることは滅多にありませんが、定期テストでは問われることがありますので、概念は理解しておきましょう。
因数分解とは
上述の通り、因数を求めるときには、かけ算の形で表したと思います。
因数分解とは、「かけ算で表す」ことを指します。
ここでも具体例を見ながら理解をしていきましょう。
素因数分解
因数の中でも、素数で表されているものを素因数と言います。
素数とは、1とその数以外で割ることのできない2以上の自然数のことで、「2、3、5、7、11、13、17 … 」のことを指します。
素因数分解とは、与えられた自然数を「素数の積」で表すことを言います。
具体例（360を素因数分解）
360を素因数分解すると、上記のようになります。
360を最も小さい素数である2から順に割っていき、2で割り切れなくなった場合は、次の素数である3、3でできなくなれば5といった具合です。できるだけ小さい素数から順に割っていくというのがポイントです。
答えは上に書いてあるように、かけ算と指数を用いて表すようにしましょう。
共通因数をまとめる因数分解
たし算や引き算の式で、共通な因数がある場合は、分配法則の逆の手順を踏むことで、因数分解することができます。
具体例
上記の左辺のように、それぞれの項（たし算や引き算の前で区切ったもの）に共通な因数がある場合は、右辺のように因数分解できます。
56xz＝14z×4x
-28yz=14z×(-2y)
42＝14z×3
より、上記の例では全て14ｚ×〇という形に直せるため、14zをかっこの外に書き、かっこの中にはそれぞれの14z以外の因数を書けば完成です。
因数分解の公式
素因数分解や共通因数を取り出す他に、公式を用いた因数分解が可能です。
多くの入試問題や定期テストで、公式を用いた因数分解の問題が出題されますので、確実に解けるようにしておきましょう。
公式（暗記必須）
因数分解の公式は上述の通りです。
1番上の公式
一番上の公式が最も一般的なもので、真ん中がたし算、後ろがかけ算になる値2つを探すという作業が必要になります。例えば、次のように因数分解することが出来ます。
真ん中の数が-4、後ろの数が-32となっていますので、足して-4、かけて-32となる数を探します。
-32の約数を書き並べて足した値が-4となる組み合わせを探せば見つかります。
したがって、因数分解した後の答えは、上述の通りとなります。
2番目の公式
2番目の公式では、前の数と後ろの数が何かを2乗した値になっていないかを確認します。
真ん中の値が2乗する前の値の積の2倍となっていれば公式を適用できます。
上記のように、4は2の2乗であり、9は3の2乗、真ん中の数は、2×3を2倍した値となっているため、公式にあてはめることが可能です。
3番目の公式
3番目の公式は、2番目の公式の真ん中の数が引き算になっているだけです。真ん中がたし算であれば、かっこの中もたし算、真ん中が引き算であれば、かっこの中も引き算といった具合です。
4番目の公式
4番目の公式は単純です。式が前の2乗引く後ろの2乗となっていれば、かっこの中が2乗する前の値のたし算と引き算になるという解法です。
前の数の196は14の2乗、後ろの144は12の2乗ですから、解答は上述の通りとなります。
公式を覚えた後は
公式を覚えた後は、様々な問題にチャレンジしてみましょう。
複数の公式を用いて因数分解を行う問題や、文字で置き換えて解く必要のある問題など、入試問題では少し考える必要のある問題が出題されます。
したがって、公式を覚えていたとしても使いこなせなければ意味がありません。公式を使いこなすためにも、たくさん問題練習をしておきましょう。
